Дифференциальные уравнения

Настоящее издание посвящено дифференциальным уравнениям – одному из самых больших разделов курса высшей математики технических университетов. Отличительной особенностью предлагаемого пособия является наличие в конце каждой лекции (весь материал излагается в виде лекций) задач и упражнений для самостоятельной работы студентов. Кроме того, в книге приведено большое количество решенных типовых задач и примеров, что поможет студентам дневных отделений втузов при выполнении типового расчета по дифференциальным уравнениям, а студентам заочной и дистанционной форм обучения – при выполнении контрольных работ.

Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов радиотехнических специальностей при изучении разделов «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Теория функции комплексной переменной», «Преобразование Лапласа», изучаемых студентами в четвертом семестре обучения. Изложение теоретического материала, как правило, сопровождается решением модельных задач, которые содержатся в контрольных работах, индивидуальных заданиях и предлагаются на экзамене. Материал излагается в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВО. Пособие ориентировано на студентов, обучающихся по направлению 11.05.00 «Радиоэлектронные системы и комплексы» и может быть использовано студентами других технических специальностей, изучающих математику.

Цель семинара «Глобус» – по возможности восстановить единство математики. Семинар рассчитан на математиков всех специальностей, аспирантов и студентов. Четвертый выпуск включает доклады С. Н. Артемова, А. М. Бородина, С. Г. Влэдуца, В. И. Данилова, Е. Б. Дынкина, Г. Л. Литвинова, Р. А. Минлоса, А. Н. Рыбко, В. В. Сергановой, М. В. Финкельберга, О. В. Шварцмана, В. В. Шехтмана, М. А. Шубина и Д. Б. Фукса.

Теория динамических систем делится на две части: многомерные системы (царство хаоса) и маломерные (царство порядка). К первой, более обширной области относятся эпиморфизмы в любой размерности, диффеоморфизмы в размерности 2 и потоки в размерности три и выше. Ко второй относятся диффеоморфизмы окружности и векторные поля на плоскости, вещественной и комплексной. Предлагаемая книга посвящена обеим темам. В теории многомерных систем она посвящена отысканию новых локально типичных свойств динамических систем, и прежде всего исследованию аттракторов. Во второй части нас интересуют полиномиальные векторные поля на вещественной и комплексной плоскости. Принятый в этой книге подход основан на связи между случайными и детерминированными динамическими системами. Книга может служить введением в предмет. Каждая тема описана в ней эскизно, зато читатель может войти в курс дела быстрее, чем это позволяет любая монография.

В книге приводятся многочисленные примеры математического моделирования реальной действительности, доступные для понимания и осознания на школьном уровне изучения математики. Книга предназначена для старшеклассников, выбирающих направление своего профессионального образования и склонных разобраться в том, какова действительная роль математики в науке и практике. Эта книга будет полезна также студентам, изучающим дифференциальные уравнения и математические модели.

Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2004 г. Она посвящена одному из разделов теории динамических систем – аттракторам и их хаусдорфовой (фрактальной) размерности. Рассматриваются различные примеры отображений, порождающие как странные, так и классические аттракторы. В качестве основного примера странных аттракторов рассматривается соленоид Смейла—Вильямса, проводится аналогия между ним и канторовым совершенным множеством. От читателя не требуется никаких начальных знаний из теории дифференциальных уравнений. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.

В пособии излагаются основы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробно рассмотрены первый и второй методы Ляпунова. Доказываются теоремы Ляпунова об устойчивости и другие классические результаты. Отдельная глава посвящена асимптотическому интегрированию дифференциальных уравнений. Приведены необходимые сведения из теории матриц. В дополнении излагаются основы теории почти периодических функций и их приложения к дифференциальным уравнениям. Большое внимание в книге обращено на точность формулировок и строгость доказательств. Каждая глава снабжена упражнениями. Учебное пособие предназначено для студентов математических и физических специальностей.

Данное пособие предлагает краткое изложение курса высшей математики для студентов вузов. Учебный материал изложен в удобной форме ответов на ключевые вопросы и содержит такие разделы, как аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения и т. д. В пособии приведены все основные определения и утверждения курса, многие из которых снабжены примерами, разъяснениями и иллюстрациями. Для студентов, обучающихся по техническим специальностям.

Цель пособия – изложение основ как классической, так и современной теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и её связей с теорией (линейных и нелинейных) уравнений в частных производных и систем таких уравнений, которые возникают в различных приложениях. Особое внимание уделяется построению вероятностных представлений решений задачи Коши для нелинейных параболических уравнений и систем, которые позволяют сводить параболическую задачу к решению соответствующих СДУ и вычислению средних от их функционалов. Последние две главы посвящены приложениям к задачам математической физики и финансовой математике. Книга предназначена для студентов и аспирантов, обучающихся по направлениям «Математика», «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», специализирующихся в области теории вероятностей, стохастических дифференциальных уравнений, математической физики и теории уравнений в частных производных, а также специалистов по финансовой математике.

Кратко изложен теоретический материал, необходимый для выполнения контрольной работы по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка». Приведены виды дифференциальных уравнений первого порядка и описаны методы нахождения их решений. Рассмотрены типовые примеры. Даны подробные пояснения. Для студентов, обучающихся на первом курсе факультетов «Информатика и системы управления», «Радиоэлектроника и лазерная техника», «Биомедицинская техника» МГТУ имени Н.Э. Баумана и изучающих в соответствии с программой дисциплину «Интегралы и дифференциальные уравнения» (модуль 2, «Дифференциальные уравнения»), а также для широкого круга читателей, желающих повысить свои знания в области решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Представлен курс лекций по дисциплине «Линейная алгебра и функции нескольких переменных». Рассмотрены основные разделы линейной алгебры и дифференциального исчисления функций нескольких переменных, общих принципов, положений и методов решения задач. Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей факультета «Энергомашиностроение».

Книга является вторым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете». Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, с их использованием при исследовании функций одного переменного. Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который читается в МГТУ им. Н. Э. Баумана. Для студентов технических вузов. Может быть полезна преподавателям и аспирантам.

Материал содержит тестовые задания по основным разделам высшей математики: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей, математическая статистика. Тестовые задания сопровождаются решением.

Учебное пособие соответствует требованиям государственных образовательных стандартов ВПО по направлениям подготовки дипломированных специалистов: 650900 (специальность 140601.65 «Электроэнергетика»), 654500 (специальности: 140601.65 «Электромеханика», 140602.65 «Электрические и электронные аппараты»); 654100 (специальность 210106 «Промышленная электроника») и направлениям подготовки бакалавров: 140200.62, 140600.62, 210100.62. Книга предназначена для студентов всех специальностей 140211/100400, 140601/180100, 140602/180200, 210106/200400, изучающих дисциплину «Высшая математика», раздел «Уравнения математической физики», а также рекомендуется студентам других специальностей, изучающим курс математической физики, инженерам и аспирантам. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 140400 «Техническая физика» и 220100 «Системный анализ и управление».

Рассматривается задача управления асимптотическими инвариантами нестационарных линейных управляемых систем, удовлетворяющих условиям равномерной полной управляемости и/или равномерной согласованности. Исследуется вопрос о получении достаточных условий разрешимости этой задачи в ее различных постановках. Приводится полное решение проблемы глобальной управляемости показателей Ляпунова для равномерно вполне управляемых систем. Для специалистов в области теории дифференциальных уравнений и теории управления, студентов и аспирантов университетов.

Пособие состоит из двух частей. В первой части содержатся теоретические сведения, проиллюстрированные примерами, во второй – задачи по разностным уравнениям. Для студентов экономических, биологических, физических и других факультетов, программы курсов которых предполагают изучение дискретных динамических систем.

Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление». В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы. Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей.

В книге излагаются основные факты, относящиеся к уравнению Лапласа, уравнению теплопроводности и волновому уравнению как простейшим представителям трех основных классов уравнений с частными производными. Приводятся доказательство теоремы Ковалевской, смешанная задача для уравнения колебаний неоднородной струны, задача Коши для волнового уравнения и теория симметрических гиперболических систем. Первая глава содержит изложение некоторых сведений из анализа и теории обобщенных функций. Для студентов университетов и других вузов, изучающих уравнения с частными производными.

Предлагаемая книга – первый том двухтомной монографии, посвящённой аналитической теории дифференциальных уравнений. В первой части этого тома излагается формальная и аналитическая теория нормальных форм и теорема о разрешении особенностей для векторных полей на плоскости. Вторая часть посвящена алгебраически разрешимым локальным задачам теории аналитических дифференциальных уравнений, квадратичным векторным полям и проблеме локальной классификации ростков векторных полей в комплексной области. Дано современное изложение работы Дюлака (1908) об условиях центра и классической работы Баутина о рождении не более чем трех предельных циклов при бифуркации особой точки квадратичного векторного поля типа центр. Изложена теория алгебраически разрешимых локальных задач и доказана алгебраическая неразрешимость проблемы различения центра и фокуса. В третьей части изложена линейная теория: подход Арнольда к теории нормальных форм линейных систем с нелинейной точки зрения, проблема Римана – Гильберта, явление Стокса, теорема Сибуи о секториальной нормализации. В приложениях приводится необходимый минимум сведений из теории римановых поверхностей и многомерного комплексного анализа. Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников физико-математических специальностей.

В книге приводятся многочисленные примеры математического моделирования реальной действительности, доступные для понимания и осознания на школьном уровне изучения математики. Книга предназначена для старшеклассников, выбирающих направление своего профессионального образования и склонных разобраться в том, какова действительная роль математики в науке и практике. Эта книга будет полезна также студентам, изучающим дифференциальные уравнения и математические модели.